CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS CON ESCUADRAS Y COMPÁS

·         Acerca de las construcciones con regla y compás

Es de anotar que la regla y el compás son objetos ideales, que naturalmente materializamos en aula de clase. Con objetos ideales se quiere decir que son conceptos matemáticos abstractos, como la raíz cuadrada de un número, no son instrumentos físicos. Representan la perfección de la mente y deben utilizarse para crear construcciones ideales, las cuales son tan concluyentes como el álgebra. En el mundo real, en la hoja de papel, los puntos son manchas bidimensionales y los segmentos son franjas de cierto ancho; pero en la mente son manifestaciones plenas de precisión y belleza. Este es el eje sobre el que giran las construcciones; la sutil distinción entre el mayor o menor grado de precisión aproximado y la exactitud del pensamiento.

·         Construcción de polígonos regulares

Como lo advertimos anteriormente, teóricamente, todo polígono regular, digamos de n lados, puede considerarse inscrito en una circunferencia y para ello basta dibujar una circunferencia y en ella dibujar ángulos centrales de medida 360° .

Veamos algunos resultados relacionados con la construcción de algunos polígonos regulares.

Construcción del cuadrado: El polígono regular, que consideramos más sencillo de construir es el cuadrado. En tal caso, dibujamos una circunferencia y dos diámetros perpendiculares, de esta manera, hemos construido ángulos centrales de 90°. Al unir los extremos consecutivos de dichos diámetros se obtiene el cuadrado. La prueba de que efectivamente la figura construida es un cuadrado se sigue de los criterios de congruencia de triángulos rectángulos y de que cada uno de ellos es un triángulo isósceles.

Construcción del triángulo equilátero: Para construir el triángulo equilátero procedemos así, dibujamos una circunferencia de centro O y radio r y dividimos 360° entre el número de lados que es tres (3) y nos da un ángulo central de 120°. Tomamos sobre la circunferencia arcos de 120°, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos un triángulo equilátero.

Construcción del hexágono regular: Para construir el hexágono regular procedemos así, dibujamos una circunferencia de centro O y radio r y dividimos 360° entre el número de lados que es seis (6) y nos da un ángulo central de 60°. Tomamos sobre la circunferencia arcos de 60°, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos un hexágono regular.

Construcción del pentágono regular: Para construir el pentágono regular dibujamos una circunferencia de centro O y radio r, y dividimos 360° entre el número de lados que es cinco (5) y nos da un ángulo central de 72°. Tomamos sobre la circunferencia arcos de 72°, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos un hexágono regular.

Construcción del octágono regular: Para construir el octágono regular procedemos así, dibujamos una circunferencia de radio r y dividimos 360° entre el número de lados que es ocho (8) y nos da un ángulo central de 45°. Tomamos sobre la circunferencia arcos de 45°, uniendo estos puntos consecutivamente obtenemos un hexágono regular. Con argumento similar a los dados en las construcciones anteriores se tiene que efectivamente el polígono construido es un octágono regular.